Ondes, optique et physique moderne - Section 2.8 - Fréquence propres d'une corde

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Fréquence propres d'une corde

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Une onde stationnaire sur une corde est produite grâce aux réflexions aux extrémités. Si une extrémité de la corde est fixe, l'onde stationnaire doit avoir un noeud à cette position. Si une extrémité de la corde est libre, l'onde stationnaire doit avoir un ventre à cette position. Les conditions à satisfaire pour former des ondes stationnaires s'appellent conditions aux limites.

Figure 2.13

Ici, les conditions aux limites imposent deux noeuds aux extrémités de la corde.

Les ondes stationnaires résonantes sont celles qui satisfont les conditions aux limites. Les conditions aux limites sur une corde vibrante fixée aux deux bouts imposent les longueurs d'onde permises pour former des ondes stationnaires résonantes; soit

(2.18)

où		est la n^ième longueur d'onde de résonance en mètres,
		est la longueur de la corde en mètres
et		est un entier positif (=1,2,3,...).

Les conditions imposées aux longueurs d'onde de résonance conduisent à des conditions imposées aux fréquences de résonance; soit

(2.19)

où		est la n^ième fréquence de résonance en hertz,
		est la vitesse de propagation (célérité) de l'onde en mètres par seconde,
		est la n^ième longueur d'onde de résonance en mètres,
		est la longueur de la corde en mètres
et		est un entier positif (=1,2,3,...).

Les caractéristiques de la corde vibrante déterminent les fréquences de résonances et donc le son émis; soit

(2.20)

où		est la vitesse de propagation (célérité) de l'onde en mètres par seconde,
		est la tension dans la corde en newtons,
		est la densité de masse linéique en kilogrammes par mètre,
		est la n^ième fréquence de résonance en hertz,
		est un entier positif (=1,2,3,...)
et		est la longueur de la corde en mètres.

Les trois dernières équations correspondent à une corde vibrante fixée aux deux bouts pour lesquelles il faut sin(

) = 0 où =2p /

est le n^ième nombre d’onde.

Une corde vibrante possède généralement plusieurs ondes stationnaires résonantes à la fois. Chaque longueur d'onde (ou fréquence) de résonance possède un indice Une corde vibrante possède généralement plusieurs ondes stationnaires résonantes à la fois. Chaque longueur d'onde (ou fréquence) de résonance possède un indice

(

=1,2,3,...) correspondant à un mode d'oscillation propre appelé aussi harmonique. La 1^re harmonique possède une longueur d'onde (ou fréquence) appelée longueur d'onde (ou fréquence) fondamentale.

Exercices

2.6

Une corde de 50 cm possède une masse de 25 g. La tension dans la corde est de 10 N. Les extrémités de la corde sont fixes.

Quelle est la longueur d'onde de la fondamentale (1^re harmonique) ?

Quelle est la fréquence de la fondamentale (1^re harmonique) ?

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Réponses

2.6 a) 1 m b) 14,14 Hz

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